Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）依題意，易得

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*），利用等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ，利用累加法a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2（n∈N^*）…5分
∵a₁=1，a₂=3，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）…8分
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查等比關(guān)系的確定及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于中檔題．