Question

已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與AD所成角的度數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：根據(jù)正四面體的性質(zhì)，每條棱都相等，相對(duì)的棱互相垂直，可借助中位線，平移直線AD，得到異面直線EF與AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．

解答： 解：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵E，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，
∴EG∥AD，F(xiàn)G∥BC，EG=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

BC
∴∠FEG為異面直線EF與AD所成的角
∵四面體ABCD為正四面體，
∴AD=BC，
∴EG=FG
過(guò)點(diǎn)A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則O為△BCD的重心，AO⊥BD
∵DO⊥BC，AO∩DO=O
∴BC⊥平面AOD
∵AD?平面AOD
∴BC⊥AD，
∵EG∥AD，F(xiàn)G∥BC
∴EG⊥FG
在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG
∴∠FEG=45°
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正四面體中線線位置關(guān)系，以及異面直線所成角的求法，綜合考查了學(xué)生的識(shí)圖能力，作圖能力，以及空間想象力．