Question

已知對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

）•f（

x-y

2

），f（0）≠0，則f（x）為（　�。�

• A、是奇函數(shù)
• B、是偶函數(shù)
• C、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• D、無(wú)法確定f（x）奇偶性

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

）•f（

x-y

2

），f（0）≠0，令x=y=0，可得f（0）=1，令y=-x，可得f（-x）=f（x），進(jìn)而可得函數(shù)為偶函數(shù)．

解答： 解：∵對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x）+f（y）=2f（

x+y

2

）•f（

x-y

2

），f（0）≠0，
令x=y=0，則f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）=2f（x），
即f（-x）=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法，屬于中檔題．