Question

已知函數(shù)f（x）=log₂²x-log₂x²
（1）求方程f（x）-3=0的解；
（2）當(dāng)x∈[

1

2

，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值，并求f（x）取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得log₂²x-2log₂x-3=0，從而求解方程的根；
（2）利用換元法求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）-3=0，
∴l(xiāng)og₂²x-2log₂x-3=0，
∴（log₂x-3）（log₂x+1）=0，
∴l(xiāng)og₂x=3或log₂x=-1，
∴x=8或

1

2

．
（2）設(shè)t=log₂x，∵x∈[

1

2

，4]，∴t∈[-1，2]，
f（x）=t²-2t=（t-1）²-1，
當(dāng)t=1，即x=2時(shí)，f（x）_min=-1，
當(dāng)t=-1，即x=

1

2

時(shí)，f（x）_max=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時(shí)考查了換元法求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．