Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；
②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求最大的實(shí)數(shù)m（m＞1），使得存在實(shí)數(shù)t，只要當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，就有f（x+t）≤2x成立．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立，令x=1，可得f（1）=2，
（2）由①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，及f（x）的最小值為0，結(jié)合（1）中f（1）=2，可得函數(shù)的解析式，
（3）若當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤2x成立．則當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，

1

2

（x+t+1）²≤2x成立．即x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0成立，令g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，則

g(1)≤0 g(m)≤0

，解不等式組可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立，
令x=1，則2≤f（1）≤2，
∴f（1）=2，
（2）∵①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象開口朝上，且以直線x=-1為對(duì)稱軸，
又∵f（x）的最小值為0，
∴f（x）=a（x+1）²，
由（1）中f（1）=2，
∴a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

（x+1）²，
（3）∵當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤2x成立．
∴當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，

1

2

（x+t+1）²≤2x成立．
即x²+（2t-2）x+t²+2t+1≤0成立，
令g（x）=x²+（2t-2）x+t²+2t+1，
則

g(1)≤0 g(m)≤0

，即

t2+4t≤0 m2+(2t-2)m+t2+2t+1

，
解得：

-4≤t≤0 1-t-2 -t ≤m≤1-t+2 -t

，
∴m≤1-t+2

-t

≤1-(-4)+2

-(-4)

=9，
即實(shí)數(shù)m的最大值為9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，抽象函數(shù)，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．