Question

已知函數(shù)f（x）=αsinx+αcosx+1-α（α∈R），x∈[0，

π

2

]，若定義在非零實數(shù)集上的奇函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且g（2）=0，是否存在實數(shù)α，使得g[f（x）]＜0恒成立？若成立，求出α的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,探究型,分類討論,轉(zhuǎn)化思想,分類法,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意，先將函數(shù)f（x）化簡為f（x）=α[

2

sin（x+

π

4

）-1]+1，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，再換元，令t=

2

sin（x+

π

4

）-1，得出t∈[0，

2

-1]，再由奇函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且g（2）=0，將g[f（x）]＜0恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）＜-2或0＜f（x）＜2，然后分類討論即可得出答案．

解答： 解：存在α∈(-

2

-1，

2

+1)，符合題意，理由如下：
因為f（x）=α[

2

sin（x+

π

4

）-1]+1，x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，令t=

2

sin（x+

π

4

）-1，所以t∈[0，

2

-1]，（3分）
又奇函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則在（-∞，0）上也為增函數(shù)，且g（2）=g（-2）=0，
所以由g（x）＜0得 x＜-2或0＜x＜2，
∴由g[f（x）]＜0得：f（x）＜-2或0＜f（x）＜2，（7分）
若f（x）＜-2，即αt+1＜-2，即αt＜-3，當t=0時不滿足，當t≠0時，α＜-

3

t

，而-

3

t

在[0，

2

-1]上的值域為（-∞，-3（

2

+1），故α不存在；
若0＜f（x）＜2，即0＜αt+1＜2，則當t=0時，0＜1＜2恒成立，a∈R；當t∈（0，

2

-1]時，則有-

1

t

＜α＜

1

t

，所以有|α|＜(

1

t

)min，則有|α|＜

1

2 -1

=

2

+1，所以-

2

-1＜α＜

2

+1，
綜上得  α∈(-

2

-1，

2

+1)．（14分）

點評：本題是個難題，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題解決，本題考查了分類討論的思想，轉(zhuǎn)化的思想及換元的技巧，綜合性強，技巧性強，應在作答本題后好好體會本題解答的思路方法．