Question

如圖，扇形AOB的弧的中點為M，動點C，D分別在線段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，則

MC

•

MD

的取值范圍是

[

3

8

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：以OA為x軸，O為原點建立如圖坐標系，得M（

1

2

，

3

2

）．設C（1-m，0），則D（-

1

2

m，

3

2

m），可得向量

MC

和

MD

的坐標，由向量數(shù)量積的坐標公式，得出

MC

•

MD

關于m的二次函數(shù)表達式，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可得

MC

•

MD

的取值范圍．

解答：解：以OA為x軸，O為原點建立如圖坐標系，則
∵半徑OA=1，且∠AOB=120°，
∴弧AMB的中點M坐標為（

1

2

，

3

2

）
求得BO方程為：y=-

3

x，
設C（1-m，0），則D（-

1

2

m，

3

2

m），（0≤m≤1）
∴

MC

=（

1

2

-m，-

3

2

），

MD

=（-

1

2

m-

1

2

，

3

2

m-

3

2

）
因此，

MC

•

MD

=（

1

2

-m）（-

1

2

m-

1

2

）-

3

2

（

3

2

m-

3

2

）
=

1

2

m²-

1

2

m+

1

2

=

1

2

（m-

1

2

）²+

3

8

∴當m=

1

2

時，

MC

•

MD

有最小值為

3

8

；當m=0或1時，

MC

•

MD

有最小值為

1

2

故答案為：[

3

8

，

1

2

]

點評：本題以扇形中的線段為例，求向量的數(shù)量積的取值范圍，著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．