Question

如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，則的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：以O(shè)A為x軸，O為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，得M（，）．設(shè)C（1-m，0），則D（-m，m），可得向量和的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，得出•關(guān)于m的二次函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，可得的取值范圍．
解答：解：以O(shè)A為x軸，O為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，則
∵半徑OA=1，且∠AOB=120°，
∴弧AMB的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）
求得BC方程為：y=-x，
設(shè)C（1-m，0），則D（-m，m），（0≤m≤1）
∴=（-m，-），=（-m-，m-）
因此，•=（-m）（-m-）-（m-）
=m²-m+=（m-）²+
∴當(dāng)m=時，•有最小值為；當(dāng)m=0或1時，•有最小值為
故答案為：
點(diǎn)評：本題以扇形中的線段為例，求向量的數(shù)量積的取值范圍，著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．