已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4
2
y的焦點(diǎn)相同,點(diǎn)P(1,
2
)是橢圓C是一點(diǎn),斜率為
2
的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且P,M,N三點(diǎn)不重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PM、PN的斜率分別為kPM、kPN,求證:kPM+kPN=0;
(Ⅲ)△PMN的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為:
x2
b2
+
y2
a2
=1
,a>b>0,由已知得
2
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+2
,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=
2
x+m
,由
y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
,得4x2+2
2
mx+m2-4=0
,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件能證明kPM+kPN=0.
(Ⅲ)由已知得P到直線l的距離d=
|
2
-
2
+m|
1+(
2
)2
=
|m|
3
,|MN|=
|m|
3
=
3
64-8m2
4
=
6
2
8-m2
,由此能求出當(dāng)m=±2時(shí),△PMN的面積最大值為
2
解答: (Ⅰ)解:∵拋物線x2=4
2
y
的焦點(diǎn)為(0,
2
),
∴設(shè)橢圓C的方程為:
x2
b2
+
y2
a2
=1
,a>b>0,
∵點(diǎn)P(1,
2
)是橢圓C是一點(diǎn),橢圓C的中心在原點(diǎn),
一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=4
2
y的焦點(diǎn)相同,
2
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+2
,解得a2=4,b2=2,
∴橢圓C的方程為
x2
2
+
y2
4
=1

(Ⅱ)證明:設(shè)直線l的方程為y=
2
x+m
,
y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
,得4x2+2
2
mx+m2-4=0

由△=-8m2+64>0,得
2
<m<2
2
,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-
2
2
m
,x1x2=
m2-4
4
,
kPM+kPN=
y1-
2
x1-1
+
y2-
2
x2-1

=
2
x1+m-
2
x1-1
+
2
x2+m-
2
x2-1

=
2
(x1-1)+m
x1-1
+
2
(x2-1)+m
x2-1

=2
2
+m•
x1+x2-2
x1x2-(x1+x2)+1

=2
2
+m•
-
2
2
m-2
m2-4
4
+
2
2
m+1

=2
2
-
2
2
m+8
m+2
2
=0

∴kPM+kPN=0.
(Ⅲ)解:∵P到直線l的距離d=
|
2
-
2
+m|
1+(
2
)2
=
|m|
3
,
又|MN|=
1+(
2
)2
•|x1-x2|=
3
64-8m2
1+(
2
)2
=
|m|
3
,
又|MN|=
1+(
2
)2
|x1-x2|

=
3
64-8m2
4
=
6
2
8-m2

S△FMN=
1
2
|MN|•d
=
2
4
(8-m2)•m2
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)8-m2=m2,即m=±2時(shí)取等號(hào),
±2∈(-2
2
,2
2
)
,
∴當(dāng)m=±2時(shí),△PMN的面積最大,最大值為
2
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查兩直線的斜率之和為0的證明,考查三角形面積最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用.
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1
2
9
)的值為(  )
A、
1
8
B、8
C、-
1
8
D、-8

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π
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x
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2
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