Question

設(shè)a＞0，b＞0，且a²+b²=1，則下列結(jié)論中正確的是

 

（填上所有正確結(jié)論的序號）
①ab＞

1

2

；
②a+b≤

2

；
③

1

a

+

1

b

≥4；
④（a+b）（

2

a

+

1

b

）≥3+2

2

；
⑤a²+ab+b²≥a+b．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：①由于a＞0，b＞0，且a²+b²=1，利用基本不等式可得1≥2ab，即可判斷出；
②利用（a+b）²≤2（a²+b²）=2，即可判斷出；
③由于0＜ab≤

1

2

，可得

1

ab

≥2，再利用基本不等式的性質(zhì)可得

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，即可判斷出．
④（a+b）（

2

a

+

1

b

）=3+

2b

a

+

a

b

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
⑤由于0＜a，b＜1，可得（1-a）（1-b）＞0，化簡即可判斷出．

解答： 解：①∵a＞0，b＞0，且a²+b²=1，∴1≥2ab，∴ab≤

1

2

，因此①不正確；
②∵（a+b）²≤2（a²+b²）=2，∴a+b≤

2

，因此②正確；
③∵0＜ab≤

1

2

，∴

1

ab

≥2，

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

2

2

時(shí)取等號，因此不正確．
④（a+b）（

2

a

+

1

b

）=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

b=

6

3

時(shí)取等號，正確；
⑤∵0＜a，b＜1，∴（1-a）（1-b）＞0，∴1+ab＞a+b，∴a²+b²+ab＞a+b，正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．