Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²+a的圖象在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求證：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，可得a=-1，b=1，即可得到f（x）的解析式；
（2）令φ（x）=f（x）-（x-x²）=e^x-x-1，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即可得證；
（3）若f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，即為k＜

f(x)

x

對(duì)?x＞0恒成立，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得右邊函數(shù)的最小值，即可得到k的范圍．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=e^x-x²+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2x，
在點(diǎn)x=0處的切線為y=bx，即有f′（0）=b，即為b=1，
即切線為y=x，
又切點(diǎn)為（0，1+a），即1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e^x-x²-1；
（2）證明：令φ（x）=f（x）-（x-x²）=e^x-x-1，
則φ′（x）=e^x-1，φ′（x）=0，則x=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）遞增，
則φ（x）_min=φ（0）=0，則有f（x）≥x-x²；
（3）解：若f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，
即為k＜

f(x)

x

對(duì)?x＞0恒成立，
令g（x）=

f(x)

x

，x＞0，則g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
=

x(ex-2x)-(ex-x2-1)

x2

=

(x-1)(ex-x-1)

x2

，
由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-x-1＞0恒成立，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
即有g(shù)（x）_min=g（1）=e-2，則k＜g（x）_min=e-2，
即k的取值范圍是（-∞，e-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運(yùn)用參數(shù)分離和不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．