Question

己知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，則f（1）+f（2）+…+f（n）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，找到規(guī)律，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式，計(jì)算即可

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則f（2）=f（1）+f（1）=2+2=4=2×2，
再令x=1，y=2，得
f（3）=f（1）+f（2）=2+4=6=2×3，
再令x=1，y=3，
f（4）=f（1）+f（3）=2+6=8=2×4，
依此類推，
f（n）=f（1）+f（n-1）=2×（n-1），
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=2+2×2+2×3+2×4+…+2（n-1）=2（1+2+3+4+…+n-1）=2×

(n-1)(1+n-1)

2

=n（n-1）=n²-n，
故答案為：n²-n，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的問題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題