【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為的正三角形，為棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)若平面平面，，求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由面面平行判定定理證明平面//平面即可；(Ⅱ)先證平面，且，連接，分別取所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐及平面的法向量，平面的法向量，利用向量夾角公式可求二面角的余弦值.

試題解析：(Ⅰ)取中點(diǎn)，連接，∴，∵面，面，∴面，∴平面//平面，∵平面，∴平面.

（Ⅱ）∵，∵平面⊥平面，交線為，∴平面，且，連接，分別取所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為，則，∴，即，設(shè)平面的法向量為， ，∴，因此所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，，且，證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤）

（1）請將利潤y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式對于任意成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運(yùn)動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對任意，，，給出下列命題：

①“”是“”的充要條件；

②“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件；

③“”是“”的必要條件，

④“”是“”的充分條件．

其中真命題的個數(shù)為（）．

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列關(guān)于回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）

A.回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒有什么區(qū)別；

B.回歸分析是對兩個變量準(zhǔn)確關(guān)系的分析，而獨(dú)立性檢驗(yàn)是分析兩個變量之間的不確定性關(guān)系；

C.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系．

D.回歸分析研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量是否具有某種關(guān)系的一種檢驗(yàn)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中無理數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數(shù)的極值點(diǎn)有三個，最小的記為，最大的記為，若的最大值為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.

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