Question

已知函數(shù)f（x）=x^m-

4

x

，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用f（4）=3，即可解出．
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷出．
（3）由于函數(shù)y=x，y=-

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增；可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，?a＜f（x）_min，x∈[1，+∞）．即可得出．

解答： （1）解：∵f（4）=3，∴4^m-

4

4

=3，解得m=1．
（2）證明：f（x）=x-

1

x

．其定義域?yàn)閧x|x≠0}．
∵f（-x）=-x-

1

-x

=-（x-

1

x

）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）解：∵函數(shù)y=x，y=-

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，f（1）=1-4=-3．
∵不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，
a＜f（x）_min，x∈[1，+∞）．
∴a＜-3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．