考點(diǎn):數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得a
n+1a
n+2=(
)
n+1,從而
=
,又a
1=1,a
2=
,由此能證明數(shù)列{a
2n-1}是以1為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列,數(shù)列{a
2n}是以
為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列.
(2)T
2n=
+
=3-
.從而b
n=(3-T
2n)•n(n+1)=3n(n+1)(
)
n,由此能求出數(shù)列{b
n}的最大項(xiàng).
解答:
(1)證明:∵數(shù)列{a
n}中.a(chǎn)
1=1,a
na
n+1=(
)
n(n∈N
*),
∴a
n+1a
n+2=(
)
n+1(n∈N
*),
∴
=
,
∵a
1=1,∴a
2=
,
∴數(shù)列{a
2n-1}是以1為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列,
數(shù)列{a
2n}是以
為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)得T
2n=(a
1+a
3+…+a
2n-1)+(a
2+a
4+…+a
2n)
=
+
=3-
.
∴b
n=(3-T
2n)•n(n+1)
=3n(n+1)(
)
n,
b
n+1=3(n+1)(n+2)(
)
n+1,
∴b
n+1-b
n=3(n+1)(
)
n(
-n)
=3(n+1)(
)
n+1(2-n),
∴b
1b
4>…>b
n,
∴(b
n)
max=b
2=b
3=
.
點(diǎn)評:本題考查等比數(shù)列的證明,考查數(shù)列的最大項(xiàng)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意作差比較法的合理運(yùn)用.