Question

已知數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_2n}與{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比數(shù)列
（2）若數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和為T_2n，令b_n=（3-T_2n）•n（n+1），求數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1a_n+2=（

1

2

）ⁿ⁺¹，從而

an+2

an

=

1

2

，又a₁=1，a₂=

1

2

，由此能證明數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）T_2n=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3-

3

2n

．從而b_n=（3-T_2n）•n（n+1）=3n（n+1）（

1

2

）ⁿ，由此能求出數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1a_n+2=（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴

an+2

an

=

1

2

，
∵a₁=1，∴a₂=

1

2

，
∴數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_2n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3-

3

2n

．
∴b_n=（3-T_2n）•n（n+1）
=3n（n+1）（

1

2

）ⁿ，
b_n+1=3（n+1）（n+2）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴b_n+1-b_n=3（n+1）（

1

2

）ⁿ（

n+2

2

-n）
=3（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹（2-n），
∴b₁b₄＞…＞b_n，
∴（b_n）_max=b₂=b₃=

9

2

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的最大項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意作差比較法的合理運(yùn)用．