Question

中央電視臺(tái)綜藝頻道推出的大型綜藝欄目《星光大道》分為周賽、月賽和年度總決賽三個(gè)輪次，通過(guò)淘汰方式依次決出周冠軍、月冠軍和年度總冠軍．已知某選手通過(guò)周賽、月賽、年賽的概率分別是

3

4

，

2

3

，

1

4

，且各輪次通過(guò)與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）設(shè)該選手參賽的輪次為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中的ξ，設(shè)“函數(shù)f（x）=3sin

x+ξ

2

π（x∈R）是奇函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）ξ可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）當(dāng)ξ=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)ξ=2時(shí)，f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)ξ=3時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，由此能求出事件D發(fā)生的概率．

解答： （Ⅰ）ξ可能取值為1，2，3．（2分）
記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，則
P（ξ=1）=P（

.

A

）=1-

3

4

=

1

4

，
P（ξ=2）=P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

）=

3

4

×（1-

2

3

）=

1

4

，
P（ξ=3）=P（AB）=P（A）P（B）=

3

4

×

2

3

=

1

2

，（5分）
ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	1 4	1 4	1 2

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

2

=

9

4

．（7分）
（Ⅱ）當(dāng)ξ=1時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+

π

2

）=3cos

π

2

x，∴f（x）為偶函數(shù)，
當(dāng)ξ=2時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+π）=-3sin

π

2

x，∴f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)ξ=3時(shí)，f（x）=3sin（

π

2

x+

3π

2

）=-3cos

π

2

x，∴f（x）為偶函數(shù)，
∴事件D發(fā)生的概率是

1

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．