Question

9．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），若M為線段AB的中點，并且|$\overrightarrow{MC}$|=1，則λ+μ的最大值為（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 1-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 1

Answer 1

分析 由條件可設(shè)$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$，從而可得出$M（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），C（λ，μ）$，根據(jù)$|\overrightarrow{MC}|=1$即可得出$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}=1$，這樣便可設(shè)$λ=cosθ+\frac{1}{2}，μ=sinθ+\frac{1}{2}$，并且θ∈[0，2π），從而可得到$λ+μ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+1$，這樣便可得出λ+μ的最大值．

解答 解：根據(jù)條件，設(shè)$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}=（0，1）$，則：$\overrightarrow{OC}=（λ，μ）$；
∴$M（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），C（λ，μ）$；
∵$|\overrightarrow{MC}|=1$；
∴$（λ-\frac{1}{2}）^{2}+（μ-\frac{1}{2}）^{2}=1$；
設(shè)$λ=cosθ+\frac{1}{2}，μ=sinθ+\frac{1}{2}$，θ∈[0，2π]；
∴$λ+μ=sinθ+cosθ+1=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+1$；
∴$θ=\frac{π}{4}$時，λ+μ取最大值$1+\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 考查引入坐標(biāo)，利用坐標(biāo)解決向量問題的方法，能根據(jù)點的坐標(biāo)求向量的長度，以及sin²θ+cos²θ=1的運用，正弦函數(shù)的最值．