【題目】如圖,在四棱柱中,底面為等腰梯形,,.平面平面,四邊形為菱形,.
(1)求證:;
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
方法一(幾何法):(1)通過(guò)證明,證得平面,由此證得;(2)作出直線與平面所成角,利用兩角差的正切公式,求得線面角的正切值,再轉(zhuǎn)化為正弦值.
方法二(向量法):(1)取中點(diǎn),連接,證得底面,由此以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算,證得.(2)由(1)計(jì)算出直線的方向向量和平面的法向量,由此計(jì)算出與平面所成角的正弦值.
方法一、
(1)連接、,取中點(diǎn),連接、.
∵等腰梯形中,,.
∴,.
又∵在菱形中,,∴.
又平面平面,交線為,∴底面.
∵,,
∴四邊形為平行四邊形,.
∴底面,∴,
又∵,相交,∴平面,
∴.
(2)取中點(diǎn),連接,,,,相交于點(diǎn),連接,顯然平面平面.
∵平面,∴平面平面,∴平面平面,交線為,∴為與平面所成角.
∵,,
∴,∴由解得.∴與平面所成角的正弦值為.
方法二、
(1)取中點(diǎn),連接.
∵四邊形為菱形,,∴.
又平面平面,交線為,∴底面.
以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,.
∴,
,
∴,∴.
(2),設(shè)平面的法向量為,則,取,.
∴與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2019年11月5日至10日在上海國(guó)家會(huì)展中心舉行.它是中國(guó)政府堅(jiān)定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟(jì)全球化,主動(dòng)向世界開(kāi)放市場(chǎng)的重要舉措,有利于促進(jìn)世界各國(guó)加強(qiáng)經(jīng)貿(mào)交流合作,促進(jìn)全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),推動(dòng)開(kāi)放世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展.某機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了100名不同性別的人員(男、女各50名)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并得到如下列聯(lián)表:
男性 | 女性 | 合計(jì) | |
關(guān)注度極高 | 35 | 14 | 49 |
關(guān)注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合計(jì) | 50 | 50 | 100 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度與性別有關(guān);
(2)若從關(guān)注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況,再?gòu)?/span>7人中任意選取2人談?wù)勱P(guān)注“進(jìn)博會(huì)”的原因,求這2人中至少有一名女性的概率.
附:.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(理)在長(zhǎng)方體中,,,,點(diǎn)在棱上移動(dòng).
(1)探求多長(zhǎng)時(shí),直線與平面成角;
(2)點(diǎn)移動(dòng)為棱中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:(),過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、,得到平行四邊形.
(1)若,,且為正方形,求該正方形的面積.
(2)若直線的方程為,和關(guān)于軸對(duì)稱,上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和,證明:.
(3)當(dāng)為菱形,且圓內(nèi)切于菱形時(shí),求,滿足的關(guān)系式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對(duì)于數(shù)列,當(dāng)時(shí),時(shí),;
(1)若集合,求當(dāng)時(shí),的值;
(2)若集合,證明:時(shí)集合的與時(shí)集合的(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中;
(3)對(duì)于(2)中集合.定義,求(用n表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖放置的邊長(zhǎng)為的正方形沿軸滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)),點(diǎn)恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是,則對(duì)函數(shù)的判斷正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)B.對(duì)任意的,都有
C.函數(shù)的值域?yàn)?/span>D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.
(1)求證:直線AC垂直于直線SD;
(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為曲線..
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.
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