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（1）已知：f(x)=
4x2-12x-32x+1
，x∈[0，1]，求函數f（x）的單調區(qū)間和值域；
（2）a≥1，函數g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，判斷函數g（x）的單調性并予以證明；
（3）當a≥1時，上述（1）、（2）小題中的函數f（x）、g（x），若對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求a的取值范圍．
分析：（1）將f（x）進行化簡成對勾函數的形式y=f(x)=2x+1+
4
2x+1
-8，換元令t=2x+1，1≤t≤3然后利用定義進行判斷函數的單調性，
（2）直接利用單調函數的定義進行判定
（3）存在性問題，轉化成f（x）的值域⊆g（x）的值域求解即可
解答：解：（1）y=f(x)=2x+1+
4
2x+1
-8，設t=2x+1，1≤t≤3
則y=t+
4
t
-8，t∈[1，3].
任取t1、t2∈[1，3]，且t1＜t2，f(t1)-f(t2)=
(t1-t2)(t1t2-4)
t1t2
，
當1≤t≤2，即0≤x≤
1
2
時，f（x）單調遞減；
當2＜t≤3，即
1
2
＜x≤1時，f（x）單調遞增．
由f(0)=-3，f(
1
2
)=-4，f(1)=-
11
3
，得f（x）的值域為[-4，-3]．
（2）設x1、x2∈[0，1]，且x1＜x2，
則g（x1）-g（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-3a2）＞0，
所以g（x）單調遞減．
（3）由g（x）的值域為：1-3a2-2a=g（1）≤g（x）≤g（0）=-2a，
所以滿足題設僅需：1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a，
解得，1≤a≤
3
2
．
點評：本題主要考查了利用函數的單調性求函數值域，以及存在性問題的求解，是一個函數綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知函數f(x)=x+
4
x
，(x≠0)請判斷并證明函數在（2，+∞）上的單調性．
（2）求值：(lg2)2+
4
3
log1008+lg5•lg20+lg25+
382
+0.027-
2
3
×(-
1
3
)-2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下列命題：（1）已知函數f(x)=x+
p
x-1
（p為常數且p＞0），若f（x）在區(qū)間（1，+∞）的最小值為4，則實數p的值為
9
4
； （2）?x∈[0，
π
2
]，sinx+cosx＞
2
；（3）正項等比數列{an}中：a4．a6=8，函數f（x）=x（x+a3）（x+a5）（x+a7），則f′(0)=16
2
；（4）若數列{an}的前n項和為Sn=2n2-n+1，且bn=2an+1，則數列{bn}前n項和為Tn=4n2-n+2上述命題正確的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）對定義域中任意x均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱．
（1）已知函數f(x)=
x2+mx+mx
的圖象關于點（0，1）對稱，求實數m的值；
（2）已知函數g（x）在R上的圖象關于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=x2-2x，求函數g（x）在R上的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知函數f(x)=
2x-1
2x+1
，判斷函數的奇偶性，并加以證明．
（2）已知函數f(x)=lg
1-x
1+x
，
    ①求f（x）的定義域；
    ②證明函數f（x）是奇函數．
    ③判斷并證明f（x）在定義域內的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為an=2n-1，已知函數f(x)=cosx•cos(x-A)-
1
2
cosA（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=
π
6
處取得最大值，且
AB
•
AC
=2，求△ABC的面積S．

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