Question

如圖，已知△PAD是邊長為2的等邊三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，其中四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，點M為PB中點，N點在PC上，且CN=3PN．
（1）求證：PB⊥面ADM；
（2）求三棱錐N-ADM的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AD中點為Q，連結(jié)PQ，BQ．由已知得△PAD與△BAD都是邊長為2的等邊三角形，可證AD⊥面PQB，又PB?面PQB，可得PB⊥AD．又PB⊥AM，AM∩AD=A，即可證PB⊥面ADM．
（2）取PC中點為E，連結(jié)ME，則ME∥BC．又BC∥AD，所以ME∥AD，故A，D，E，M四點共面，又CN=3PN，所以N為PE中點，由三棱錐體積公式即可得解．

解答： 解：（1）取AD中點為Q，連結(jié)PQ，BQ．由已知可得△PAD與△BAD都是邊長為2的等邊三角形，
所以有AD⊥PQ，AD⊥BQ，又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB．
又PB?面PQB，
∴PB⊥AD．
又PA=AB，PM=BM，所以有PB⊥AM，又AM∩AD=A，
∴PB⊥面ADM．（6分）
（2）取PC中點為E，連結(jié)ME，則ME∥BC．
又BC∥AD，所以ME∥AD，故A，D，E，M四點共面，
又CN=3PN，所以N為PE中點，
∴V_N-ADM=

1

2

V_P-ADM=

1

2

V_M-PAD=

1

4

V_B-PAD=

1

4

×

1

3

×

3

4

×4×

3

=

1

4

．（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了三棱錐的體積的求法，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．