Question

已知圓的圓心為M，圓（x-2）²+y²=的圓心為N，一動(dòng)圓與這兩圓都外切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)N的直線l與（1）中所求軌跡有兩交點(diǎn)A、B，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個(gè)圓相外切的充要條件列出兩個(gè)幾何條件，令兩個(gè)式子相減；再利用雙曲線的定義判斷出動(dòng)圓圓心P的軌跡是雙曲線，寫出雙曲線的方程．
（2）分直線的斜率存在于不存在，設(shè)出直線的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理列出關(guān)于k的不等式，求出k的范圍，利用向量的數(shù)量積公式將用k表示，求出k的范圍．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，
則|PM|=，
相減得|PM|-|PN|=2
由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，
其雙曲線方程為
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，，=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂=2⇒y₁=3，y₂=-3
所以，，
綜合得
點(diǎn)評(píng)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參法、交軌法等；解決直線與圓相交的問(wèn)題常利用幾何法特別時(shí)，將直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解．