Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（xω+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的最小正周期為π，設(shè)集合M={直線l|l為曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線，x₀∈[0，π）]．若集合M中有且只有兩條直線互相垂直，則ω=

 

；A=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由周期公式求得ω，再由曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線x₀∈[0，π）]有且只有兩條直線互相垂直，可知其導(dǎo)函數(shù)的最大值為1，由此求得A的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（xω+φ）的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，即ω=2．
∴f（x）=Asin（2x+φ），
f′（x）=2Acos（2x+φ），
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線x₀∈[0，π）]有且只有兩條直線互相垂直，
∴f′（x）=2Acos（2x+φ）的最大值為1，即A=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處切線方程，考查了簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．