Question

19．已知函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a．設(shè)函數(shù)F（x）=[f（x）]²-[f（-x）]²，且F（x）不恒等于0，則對(duì)于F（x）有如下說法：
①定義域?yàn)閇-b，b]
②是奇函數(shù)   
③最小值為0
④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增
其中正確說法的序號(hào)是①②．（寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 對(duì)于①，根據(jù)F（x）的解析式以及f（x）的定義域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定義域，可得①正確；
對(duì)于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再結(jié)合F（x）的其定義域，可得F（x）為奇函數(shù)，②正確；對(duì)于③，舉出反例，當(dāng)f（x）＞1時(shí)，可得F（x）的最小值不是0，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由于F（x）是奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得④錯(cuò)誤；綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
對(duì)于①，對(duì)于F（x）=f²（x）-f²（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，
而又由0＜b＜-a，則F（x）=f²（x）-f²（-x）中，x的取值范圍是-b≤x≤b，即其定義域是[-b，b]，則①正確；
對(duì)于②，F(xiàn)（-x）=f²（-x）-f²（x）=-F（x），且其定義域?yàn)閇-b，b]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則F（x）為奇函數(shù)，②正確；
對(duì)于③，由y=f（x）無零點(diǎn)，假設(shè)f（x）=2^x，F(xiàn)（x）=2^2x-2^-2x=2^2x-$\frac{1}{{2}^{2x}}$無最小值，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由于F（x）是奇函數(shù)，則F（x）在[-b，0]上與[0，b]上的單調(diào)性相同，故F（x）在其定義域內(nèi)不一定單調(diào)遞增，④錯(cuò)誤；
故答案為①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、最值等性質(zhì)，判斷②時(shí)，注意要結(jié)合函數(shù)F（x）的定義域．