Question

甲乙兩個(gè)盒子里各放有標(biāo)號為1，2，3，4的四個(gè)大小形狀完全相同的小球，從甲盒中任取一小球，記下號碼x后放入乙盒，再從乙盒中任取一小球，記下號碼y，設(shè)隨機(jī)變量X=|x-y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知y=2 包括兩種情況，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，根據(jù)變量的結(jié)果對應(yīng)的事件做出兩種情況的概率，這兩種情況是互斥的，且每一種情況中包含的事件是相互獨(dú)立事件，根據(jù)公式得到結(jié)果．
（2）由題意知隨機(jī)變量的取值是0、1、2、3，根據(jù)不同變量對應(yīng)的事件得到概率，寫出分布列和期望．

解答： 解：（1）由題意知y=2 包括兩種情況：
一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，
∴P（y=2）=P（x=2，y=2）+P（x≠2，y=2）=

1

4

×

2

5

+

3

4

×

1

5

=

1

4

．
（2）隨機(jī)變量X可取的值為0，1，2，3
當(dāng)X=0時(shí)，（x，y）=（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）
∴P（x=0）=

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

+

1

4

×

2

5

=

2

5

，
當(dāng)X=1時(shí)，（x，y）=（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）
∴P（X=1）=

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

+

1

4

×

1

5

=

3

10

，
同理，得P（X=2）=

1

5

，P（X=3）=

1

10

，
∴X的分布列：

X	0	1	2	3
P	2 5	3 10	1 5	1 10

∴EX=1×

3

10

+2×

1

5

+3×

1

10

=1．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道大題，文科考概率一般考查古典概型和幾何概型．