Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁=11，b₁=1，a₂+b₂=11，a₃+b₃=11．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n-b_n|}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，依題意，得

11+d+q=11 1+2d+q2=11

，解之即可求得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；通過對(duì)0＜n≤3與n＞3的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)后分利用分組求和的方法即可求得數(shù)列{|a_n-b_n|}的前n項(xiàng)的和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則

11+d+q=11 1+2d+q2=11

，解得

q=2 d=-2

，
所以a_n=-2n+13，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；
（i）0＜n≤3時(shí)，a_n＞b_n，a_n-b_n=13-2n-2^n-1，S_n=

(11-2n+13)n

2

-

1×(1-2n)

1-2

=-2ⁿ-n²+12n+1，且S₃=20；
（ii）n＞3時(shí)，a_n＜b_n，|a_n-b_n|=b_n-a_n=2^n-1-（13-2n），
S_n-S₃=

8(1-2n-3)

1-2

-

(5-2n+13)(n-3)

2

=2ⁿ+n²-12n+19，
∴S_n=2ⁿ+n²-12n+39；
綜上所述，S_n=

-2n-n2+12n+1(0＜n≤3) 2n+n2-12n+39(n≥4)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查方程思想與分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．