【題目】設(shè)是20個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，且集合中有201個(gè)不同的元素.求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值.

【答案】100

【解析】

所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為100.

例子：令，

.

則中共有個(gè)不同的元素.

而

共有個(gè)不同的元素.

下面證明：所給集合的不同元素的個(gè)數(shù)不小于100.

用反證法證明.

若存在一個(gè)使所給集合的元素個(gè)數(shù)小于100的集合.計(jì)算的“好子集”的個(gè)數(shù)，這里，，且.

對中滿足的數(shù)對（共190對），考慮它們的差，由假設(shè)知至多有99個(gè)不同的差，故必有至少91個(gè)數(shù)對，使得存在，滿足，，且.對這樣的91個(gè)數(shù)對，它與其對應(yīng)的、形成的一個(gè)四元集，可以得到的一個(gè)好子集，且至多兩個(gè)數(shù)對形成相同的子集（只能是或）.故S的好子集至少有46個(gè).

另一方面，的好子集的個(gè)數(shù)等于，這里，為中滿足，的數(shù)對的個(gè)數(shù).

注意到，對每個(gè)，中的每個(gè)元素至多出現(xiàn)在上面的一個(gè)數(shù)對中（事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，出現(xiàn)在數(shù)對中，其余情況出現(xiàn)在中），于是，.從而，在時(shí)，.故.

由于集合中有201個(gè)不同的元素，故使得的正整數(shù)有201個(gè).設(shè)為這樣的組成的集合，利用中有對滿足，有20對滿足，故.

則.

這與前面所得到的結(jié)論：的好子集至少有46個(gè)矛盾.

因此，所給的集合中，至少有100個(gè)不同的元素.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（ ）

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（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績的平均分及眾數(shù)；

（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取3個(gè)，記理科數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績中任意抽取一份，記其成績?yōu)?/span>，依據(jù)以下不等式評判（表示對應(yīng)事件的概率）：

①，②，

③，其中．

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D.命題：，，，則：，，

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（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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