【題目】已知如圖1直角三角形ACB中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，將沿折起，使面面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連，利用勾股定理、面面垂直和線面垂直性質(zhì)可分別證得、，利用線面垂直判定定理可知面，由線面垂直性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）以為原點(diǎn)可建立起空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

（1）在圖中，取的中點(diǎn)，連.

在直角中，，，，

，，

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，有，，，

由得：，

，.

將沿折起，使面面，

由點(diǎn)為的中點(diǎn)，在等邊中，，面面，

面，又面，，

又，，平面，面，

又面，.

（2）以為原點(diǎn)，分別以，，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為，，軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，

在面中，設(shè)其一個(gè)法向量，

又，，

則，令，則，，，

在面中，設(shè)其一個(gè)法向量，

又，，

則，令，則，，，

，

二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值少

B. 從2011年到2015年，產(chǎn)值年增量逐年減少

C. 產(chǎn)值年增量的增量最大的是2017年

D. 2016年的產(chǎn)值年增長(zhǎng)率可能比2012年的產(chǎn)值年增長(zhǎng)率低

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（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出分廠的質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；

（2）填寫(xiě)列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為這兩個(gè)分廠的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

合計(jì)

合計(jì)

（3）（i）從分廠所抽取的100件產(chǎn)品中，利用分層抽樣的方法抽取10件產(chǎn)品，再?gòu)倪@10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，已知抽到一件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的條件下，求抽取的兩件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品的概率；

（ii）將頻率視為概率，從分廠中隨機(jī)抽取10件該產(chǎn)品，記抽到優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．

附：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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