Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為

6

3

，點(diǎn)R坐標(biāo)為（2

2

，

6

），又點(diǎn)F₂在線段RF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P在直線x=-2

3

上（點(diǎn)P不在x軸上），直線PA₁與橢圓C交于點(diǎn)N，直線PA₂與橢圓C交M，線段MN的中點(diǎn)為Q，證明：2|A₁Q|=|MN|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c

a

=

6

3

，|F1F2|=|RF2|，(2c)2=(

6

)2+(2

2

-c)2，由此能求出橢圓C的方程． 
（Ⅱ）設(shè)PA₁的方程為y=k(x+

3

)（k≠0），PA₂方程為y=

k

3

(x-

3

)，由方程組

y= k 3 (x- 3 ) x2 3 +y2=1.

，得(3+k2)x2-2

3

k2x+3k2-9=0，由此求出KMA1=

yM-0

xM+ 3

，化簡后KMA1=-

1

k

，三角形MNA₁為直角三角形，Q為斜邊中點(diǎn)，從而能證明2|A₁Q|=|MN|．

解答： （Ⅰ）解：∵e=

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，
∵F₂（c，0）在PF₁的中垂線上，
∴|F1F2|=|RF2|，(2c)2=(

6

)2+(2

2

-c)2，解得c=2，a²=3，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分） 
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，M(xM，yM)，
設(shè)PA₁的方程為y=k(x+

3

)（k≠0），則P坐標(biāo)（-2

3

，-

3

k），
∴KPA2=

k

3

，∴PA₂方程為y=

k

3

(x-

3

)
由方程組

y= k 3 (x- 3 ) x2 3 +y2=1.

，消去y，整理得(3+k2)x2-2

3

k2x+3k2-9=0…（8分）
解得

3

xM=

3(k2-3)

k2+3

，
∴xM=

3 (k2-3)

k2+3

，yM=

k

3

(xM-

3

)=

-2 3 k

k2+3

∵KMA1=

yM-0

xM+ 3

，化簡后KMA1=-

1

k

，
∴MA₁⊥NA₁，則三角形MNA₁為直角三角形，Q為斜邊中點(diǎn)，
∴2|A₁Q|=|MN|…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓等橢圓知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．