Question

若正方體P₁P₂P₃P₄-Q₁Q₂Q₃Q₄的棱長(zhǎng)為1，
集合M={x|x=

P1Q1

•

SiTj

，S，T∈{P，Q}，i，j∈{1，2，3，4}}，
則對(duì)于下列結(jié)論：
①當(dāng)

SiTj

=

PiQj

時(shí)，x=1；
②當(dāng)

SiTj

=

QiPj

時(shí)，x=1；
③當(dāng)x=1時(shí)，（i，j）有16種不同取值；
④M={-1，0，1}
其中正確的結(jié)論序號(hào)為

 

（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,推理和證明

分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得出向量

PiQj

，

P1Q1

，

PiPj

，

QiPj

的坐標(biāo)表示，求出x=

P1Q1

•

SiTj

的值即可判斷所給的結(jié)論是否正確．

解答： 解：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
①當(dāng)

SiTj

=

PiQj

時(shí)，x=

P1Q1

•

PiQj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，1）=1，
∴①正確；
②當(dāng)

SiTj

=

QiPj

時(shí)，由①知，x=-1，∴②錯(cuò)誤；
③當(dāng)x=1時(shí)，i=1、2、3、4，j=1、2、3、4，（i，j）有4×4=16種不同的取值，∴③正確；
④當(dāng)

SiTj

=

PiQj

時(shí)，x=

P1Q1

•

PiQj

=1，
當(dāng)

SiTj

=

PiPj

時(shí)，x=

P1Q1

•

PiQj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，0）=0，
當(dāng)

SiTj

=

QiPj

時(shí)，x=

P1Q1

•

QiPj

=（0，0，1）•（x_i，x_j，-1）=-1，
∴M={-1，0，1}，④正確．
綜上，正確的結(jié)論是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了集合知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．