Question

（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

那么sinx的取值范圍是

 

；
（2）如果函數f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，那么實數a的取值
范圍是

 

．

Answer 1

考點：復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據對數函數的單調性結合絕對值不等式的解法即可得到結論．
（2）利用換元法結合復合函數單調性之間的關系即可得到結論．

解答： 解：（1）如果log 

1

2

|x-

π

3

|≥log 

1

2

π

2

，則0＜|x-

π

3

|≤

π

2

，
即-

π

2

≤x-

π

3

≤

π

2

且x≠

π

3

，
即-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
則-

π

6

≤x≤

5π

6

且x≠

π

3

，
-

1

2

≤sinx≤1；
（2）設t=a^x，則函數f（x）=a^x（a^x-3a²-1）等價為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t，
若a＞1，當x≥0時，t≥1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，
則等價為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在[1，+∞）上為增函數，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此時不成立，
若0＜a＜1，當x≥0時，0＜t＜1，
若f（x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數，
則等價為y=t（t-3a²-1）=t²-（3a²+1）t在（0，1）上為減函數，即-

-(3a2+1)

2

=

3a2+1

2

≤1，
即3a²+1≤2，a²≤

1

3

，此時0≤a≤

3

3

成立，
故實數a的取值范圍是 0≤a≤

3

3

．
故答案為：-

1

2

≤sinx≤1，0≤a≤

3

3

．

點評：本題主要考查對數不等式的求解以及復合函數單調性的應用，利用換元法結合一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．