Question

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（Ⅰ）求炮的最大射程；
（Ⅱ）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求炮的最大射程即求  y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）與x軸的橫坐標(biāo)，求出后應(yīng)用基本不等式求解．
（2）求炮彈擊中目標(biāo)時的橫坐標(biāo)的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．

解答： 解：（1）在 y=kx-

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（1+k²）x²（k＞0）中，令y=0，得 kx-

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（1+k²）x²=0．                  
由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．
∴x=

20k

1+k2

=

20

k+ 1 k

≤

20

2

=10當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價于存在 k＞0，使ka-

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（1+k²）a²=3.2成立，
即關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+64=0有正根．
由韋達(dá)定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，
故只需△=400a²-4a²（a²+64）≥0得a≤6．
此時，k=

20a± △

2a2

＞0．
∴當(dāng)a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標(biāo)

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：函數(shù)模型的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考察級學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題型．