如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）證法一是取的中點，構造四邊形，并證明四邊形為平行四邊形，得到，從而證明平面；證法二是取的中點，構造平面，通過證明平面平面，并利用平面與平面平行的性質來證明平面；（Ⅱ）直接利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值.
試題解析：解法一：（Ⅰ）取的中點，連結，

則，且，     2分
又，∴且，所以四邊形是平行四邊形，
則，                    5分
又因為平面，平面，所以平面．           6分
（Ⅱ）依題得，以點為原點，所在的直線分別為軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則，，，，，，
所以，．
設平面的一個法向量為，則即，
取，得，．       10分
又設與平面所成的角為，，
則，
故與平面所成角的正弦值為．             13分
解法二：（Ⅰ）取的中點，連結，

則，
又因為平面，平面，平面

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，，點是的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：;
(3)求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖已知：菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直，，點分別是線段的中點.

（1）求證：平面平面;
（2）點在直線上，且//平面，求平面與平面所成角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側．

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在中，，，是上的高，沿把折起，使.
(Ⅰ)證明：平面⊥平面；
(Ⅱ)若，求三棱錐的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，，設頂點A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個頂點都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點，且平面 ，，點為的中點.
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成30o的二面角,如圖二，在二面角中.

(1) 求CD與面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 對于AD上任意點H，CH是否與面ABD垂直。

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