Question

9．已知函數(shù)f（x）=-3sin²x-4cosx+2，則該函數(shù)的最大值和最小值的差為（　　）

• A． 6
• B． 4
• C． $\frac{25}{3}$
• D． -$\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)關(guān)系，把函數(shù)轉(zhuǎn)換成關(guān)于cosx的函數(shù)，利用換元法，根據(jù)cosx的范圍求得函數(shù)的最小值和最大值．

解答 解：y=-3sin²x-4cosx+2=3cos²x-3-4cosx+3=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
∵-1≤cosx≤1，令cosx=t，則-1≤t≤1，
f（t）=3（t-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，在[-1，$\frac{2}{3}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{2}{3}$，1]上單調(diào)遞增，
∴f（t）_min=f（$\frac{2}{3}$）=-$\frac{4}{3}$，f（t）_max=f（-1）=7，
∴f（t）_max-（t）_min=7-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{25}{3}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)．解題過程采用了換元法，把三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的問題．