Question

拋擲三枚不同的具有正、反兩面的金屬制品A₁、A₂、A₃，假定A₁正面向上的概率為

1

2

，A₂正面向上的概率為

1

3

，A₃正面向上的概率為t（0＜t＜1），把這三枚金屬制品各拋擲一次，設(shè)ξ表示正面向上的枚數(shù)．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ（用t表示）；
（2）令a_n=（2n-1）cos（

6nπ

5+6t

Eξ）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,數(shù)列的求和

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．（2）由an=(2n-1)cos(

6nπ

5+6t

•

5+6t

6

)=（2n-1）cosnπ=（-1）ⁿ•（2n-1），利用分類討論思想能求出S_n．

解答： 解：（1）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

1

2

×

2

3

×(1-t)=

2-2t

6

，
P（ξ=1）=

1

2

×

2

3

×(1-t)+

1

2

×

1

3

×(1-t)+

1

2

×

1

3

×t=

3-t

6

，
P（ξ=2）=

1

2

×

1

3

×(1-t)+

1

2

×

2

3

×t+

1

2

×

1

3

×t=

2t+1

6

，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

3

×t=

t

6

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	2-2t 6	3-t 6	2t+1 6	t 6

Eξ=0×

2-2t

6

+1×

3-t

6

+2×

2t+1

6

+3×

t

6

=

5+6t

6

．
（2）an=(2n-1)cos(

6nπ

5+6t

•

5+6t

6

)=（2n-1）cosnπ=（-1）ⁿ•（2n-1），
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=[（-1）+3]+[（-5）+7]+…+[-（2n-3）+（2n-1）]=2•

n

2

=n，
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=[（-1）+3]+[（-5）+7]+…+[-（2n-5）+（2n-3）]+[-（2n-1）]
=2•

n-1

2

-(2n-1)=-n，
∴S_n=（-1）ⁿ•n．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．