已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程;
(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程。
解 (1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.
∴f′(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2)=13.
∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)法一 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),
則直線l的斜率為f′(x0)=3x+1,
∴直線l的方程為y=(3x+1)(x-x0)+x
+x0-16,
又∵直線l過點(diǎn)(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x
+x0-16,
整理得,x=-8,∴x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26.)
法二 設(shè)直線l的方程為y=kx,切點(diǎn)為(x0,y0),
則k=
又∵k=f′(x0)=3x+1,∴
=3x
+1,
解之得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).
(3)∵切線與直線y=-x+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f′(x0)=3x+1=4,
∴x0=±1,
∴
切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)為( A )
A. y′=2xcosx-x2sinx B.y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D.y′=xcosx-x2sinx
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