設函數,數列滿足.
⑴求數列的通項公式;
⑵設,若對恒成立,求實數的取值范圍;
⑶是否存在以為首項,公比為的數列,,使得數列中每一項都是數列中不同的項,若存在,求出所有滿足條件的數列的通項公式;若不存在,說明理由.
(1);(2);(3)存在,理由詳見解析.
解析試題分析:(1)將利用進行化簡,得到關于與的遞推關系式,根據其特點,求其通項公式;(2)本題關鍵是求出,根據其表達式的特點,可每兩項組合后提取公因式后,轉化為等差數列求和,但要注意對,分奇偶性討論,求出后,對恒成立再分離參數后轉化為求最值問題,容易求出實數的取值范圍;(3)此類問題,一般先假設存在符合條件的數列,解出來則存在,如果得到矛盾的結果,則假設錯誤,這樣的數列則不存在.
試題解析:⑴因為,
所以. 2分
因為,所以數列是以1為首項,公差為的等差數列.
所以. 4分
⑵①當時,
. 6分
②當時,
. 8分
所以 要使對恒成立,
只要使為偶數恒成立.
只要使,為偶數恒成立,故實數的取值范圍為. 10分
⑶由,知數列中每一項都不可能是偶數.
①如存在以為首項,公比為2或4的數列,,
此時中每一項除第一項外都是偶數,故不存在以為首項,公比為偶數的數列. 12分
②當時,顯然不存在這樣的數列.
當時,若存在以為首項,公比為3的數列,.
則,,,.
所以滿足條件的數列的通項公式為. 16分
考點:等差數列、等比數列與函數、不等式的綜合運用.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知an=n×0.8n(n∈N*).
(1)判斷數列{an}的單調性;
(2)是否存在最小正整數k,使得數列{an}中的任意一項均小于k?請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知曲線,過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點(且,點列的橫坐標構成數列,其中.
(1)求與的關系式;
(2)令,求證:數列是等比數列;
(3)若(為非零整數,),試確定的值,使得對任意,都有成立.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知{an}是等差數列,a1=3,Sn是其前n項和,在各項均為正數的等比數列{bn}中,b1=1,且b2+S2=10,S5 =5b3+3a2.
(I )求數列{an}, {bn}的通項公式;
(II)設,數列{cn}的前n項和為Tn,求證
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知數列是等差數列,且,;又若是各項為正數的等比數列,且滿足,其前項和為,.
(1)分別求數列,的通項公式,;
(2)設數列的前項和為,求的表達式,并求的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知數列的各項均為正數,為其前項和,對于任意的,滿足關系式
(1)求數列的通項公式;
(2)設數列的通項公式是,前項和為,求證:對于任意的正整數,總有.
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