設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N+).若方程f(x)=x的根為0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)已知各項均不為零的數(shù)列{an}滿足:4Snf(
1
an
)=1(Sn為該數(shù)列前n項和),求該數(shù)列的通項公式an
考點:數(shù)列與函數(shù)的綜合
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)設(shè)
x2+a
bx-c
=x,得(1-b)x2+cx+a=0,由
2+0=
c
1-b
2×0=
a
1-b
,得a=0,b=1+
c
2
,由此能求出f(x).
(2)由已知得2Sn=an-an2,從而2Sn-1=an-1-an-12,由此能求出an=-n.
解答: 解:(1)∵f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N+),方程f(x)=x的根為0和2,
∴設(shè)
x2+a
bx-c
=x,得(1-b)x2+cx+a=0,
2+0=
c
1-b
2×0=
a
1-b
,解得a=0,b=1+
c
2
,
∴f(x)=
x2
(1+
c
2
)x-c
,
f(-2)=
-2
1+c
<-
1
2
,解得c<3,
又b,c∈N*,∴c=2,b=2,
∴f(x)=
x2
2(x-1)
,x≠1.
(2)由已知得2Sn=an-an2,
∴2Sn-1=an-1-an-12,
兩式相減,得(an+an-1)(an-an-1+1)=0,
∴an=-an-1或an-an-1=-1,
當n=1時,2a1=a1-a12,∴a1=-1,
若an=-an-1,則a2=1,
這與an≠1矛盾,
∴an-an-1=-1,∴an=-n.
點評:本題考查函數(shù)的解析式的求法,考查數(shù)列的通項公式的求法,是中檔題,解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用.
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相關(guān)習題

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設(shè)集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},則A∪B=( 。
A、{x|x≥-4}
B、{x|x>-2}
C、{x|-4≤x<1}
D、{x|-2<x≤1}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對任意的實數(shù)x恒有l(wèi)oga(sinx+cosx)2≥-2,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=
n2-n
2k
+1
(k∈N*
(1)判斷數(shù)列{an}是否成等差數(shù)列?并說明理由;
(2)設(shè)數(shù)列{Tn}的前n項和為
n
k=1
1
akak+1
且T1=k,是否存在實數(shù)k,使得Tn<2對所有的n都成立?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-9x(a≠0),當x=-1時f(x)取得極值5.
(Ⅰ)求f(x)的極小值;
(Ⅱ)對任意x1,x2∈(-3,3),判斷不等式|f(x1)-f(x2)|<32是否能恒成立,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的“伴隨圓”.已知橢圓C的離心率為
3
2
,且經(jīng)過點(0,1).
(1)請求出橢圓C的標準方程;
(2)若過點P(0,m)(m>0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點,且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2
2
,求實數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=3x2+x,則定積分
2
0
f(x)dx=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,對任意n∈N*,a1+a2+…+an=2n-1,則a12+a22+…+an2等于( 。
A、(2n-1)2
B、
(2n-1)2
3
C、4n-1
D、
4n-1
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
b
|x|-a
(a>0,b>0)
的圖象形如漢字“囧”,故稱其為“囧函數(shù)”.給出下列五個命題:
①“囧函數(shù)”在在(0,+∞)上單調(diào)遞增;      
②“囧函數(shù)”的值域為R;
③“囧函數(shù)”有兩個零點;                 
④“囧函數(shù)”的圖象關(guān)于y軸對稱;
⑤“囧函數(shù)”的圖象與直線y=kx+m(k≠0)至少有一個交點.
其中正確的結(jié)論是:
 
.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

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