Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N⁺）．若方程f（x）=x的根為0和2，且f（-2）＜-

1

2

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知各項均不為零的數(shù)列{a_n}滿足：4S_nf（

1

an

）=1（S_n為該數(shù)列前n項和），求該數(shù)列的通項公式a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)

x2+a

bx-c

=x，得（1-b）x²+cx+a=0，由

2+0= c 1-b 2×0= a 1-b

，得a=0，b=1+

c

2

，由此能求出f（x）．
（2）由已知得2Sn=an-an2，從而2S_n-1=an-1-an-12，由此能求出a_n=-n．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N⁺），方程f（x）=x的根為0和2，
∴設(shè)

x2+a

bx-c

=x，得（1-b）x²+cx+a=0，
∴

2+0= c 1-b 2×0= a 1-b

，解得a=0，b=1+

c

2

，
∴f（x）=

x2

(1+ c 2 )x-c

，
f（-2）=

-2

1+c

＜-

1

2

，解得c＜3，
又b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=

x2

2(x-1)

，x≠1．
（2）由已知得2Sn=an-an2，
∴2S_n-1=an-1-an-12，
兩式相減，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
當n=1時，2a1=a1-a12，∴a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，則a₂=1，
這與a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．