Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-9x（a≠0），當x=-1時f（x）取得極值5．
（Ⅰ）求f（x）的極小值；
（Ⅱ）對任意x₁，x₂∈（-3，3），判斷不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32是否能恒成立，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f（x）是實數集上的可導函數，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）=0的根建立起相關等式，運用待定系數法確定a、b的值，進而得到極小值；
（Ⅱ）分別求出端點值和極值，通過比較即可的出結論．由Ⅰ中求得的函數的單調區(qū)間可得函數f（x）在區(qū)間（-3，3）上單調性，求出最大值和最小值，從而得到對任意x₁，x₂∈（-3，3），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）=ax³+bx²-9x（a≠0）的導數f′（x）=3ax²+2bx-9，
當x=-1時f（x）取得極值5，則有f（-1）=5且f′（-1）=0，
即有-a+b+9=5且3a-2b-9=0，解得a=1，b=-3．
則f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9，
f′（x）＞0得，x＞3或x＜-1；f′（x）＜0得，-1＜x＜3．
則f（x）在x=3處取極小值且為27-27-27=-27．
（Ⅱ）由于任意x₁，x₂∈（-3，3），|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-3，-1）上遞增，（-1，3）上遞減，
則x=-1取得最大值，且為5，f（-3）=f（3）=-27，
由于任意x₁，x₂∈（-3，3），則|f（x₁）-f（x₂）|＜5-（-27）=32，
故對任意x₁，x₂∈（-3，3），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜32能恒成立．

點評：本題考查了利用導數求極值和閉區(qū)間上函數的最值，求函數在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．