Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為l₁，g（x-1）與x軸的交點(diǎn)N處的切線為l₂，并且l₁與l₂平行．
（1）求f（2）的值；
（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求函數(shù)y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由l₁與l₂平行可知2a-a=

1

2-1

，從而解出a；
（2）代入化簡可得y=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，令u=xlnx，0≤u≤e可化為y=u²+（2t-1）u+t²-t，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答： 解：（1）由題意，M（a，0），f'（x）=2x-a；
y=g（x-1）=ln（x-1）的圖象與x軸的交點(diǎn)N（2，0），y'=

1

x-1

，
則由題意可得，2a-a=

1

2-1

，
解得，a=1，
則f（x）=x²-x，f（2）=4-2=2．
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
令u=xlnx，
∵x∈[1，e]，∴0≤u≤e；
y=u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對(duì)稱軸u=

1-2t

2

，
且開口向上，
①當(dāng)u=

1-2t

2

≤0，即t≥

1

2

時(shí)，y_min=y|_u=0=t²-t，
②當(dāng)u=

1-2t

2

≥e，即t≤

1-2e

2

時(shí)，y_min=y|_u=e=e²+（2t-1）e+t²-t，
③0＜

1-2t

2

＜e，即

1-2e

2

＜t＜

1

2

時(shí)，
y_min=y|_u=

1-2t

2

=（

1-2t

2

）²+（2t-1）

1-2t

2

+t²-t=-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了換元法及二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題，屬于中檔題．