Question

（文）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形（記此圓為W），且PA⊥平面ABCD．
（1）當(dāng)AC是圓W的直徑時(shí)，求證：平面PBC⊥平面PAB；
（2）當(dāng)BD是圓W的直徑時(shí)，PA=BD=2，AD=CD=

3

，求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）在（2）的條件下，證明：直線AB不可能與平面PCD平行．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）應(yīng)用面面垂直的判定定理，證得BC⊥平面PAB即可；
（2）求出S_△ABD=S_△BCD=

3

2

，即可求出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）利用反證法進(jìn)行證明即可．

解答： （1）證明：∵AC是圓的直徑，∴AB⊥CB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）解：∵BD是圓W的直徑時(shí)，BD=2，AD=CD=

3

，
∴AB=BC=1，
∴S_△ABD=S_△BCD=

3

2

．
∵PA=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

•

3

•2=

2 3

3

；
（3）證明：假設(shè)直線AB與平面PCD平行，則AB∥CD，
由（2）知∠ABC=30°，∠CDB=60°，
∴AB與CD不平行，
∴直線AB不可能與平面PCD平行．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查面面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，同時(shí)考查四棱錐P-ABCD的體積的求法，是一道綜合題．