Question

求函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)求函數(shù)的值域，函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）是由f（x）=log 

1

2

μ（x）=與μ（x）=x²-6x+17復合而成，根據(jù)復合的兩個函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，即可求出函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：由μ（x）=x²-6x+17=（x-3）²+8≥8，解得x∈R，
所以函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的定義域R．
所以函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的值域（-∞，-3]．
因為函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）是f（x）=log 

1

2

μ（x）與μ（x）=x²-6x+17，
函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）在其定義域上是單調(diào)遞減的，
函數(shù)μ（x）=x²-6x+17在（-∞，3）上為減函數(shù)，在[3，+∞）上為增函數(shù)．
考慮到函數(shù)的定義域及復合函數(shù)單調(diào)性，
f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的增區(qū)間是定義域內(nèi)使f（x）=log 

1

2

μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-6x+17也為減函數(shù)的區(qū)間，即（-∞，3）；
f（x）=log 

1

2

（x²-6x+17）的減區(qū)間是定義域內(nèi)使f（x）=log 

1

2

μ（x）為減函數(shù)、μ（x）=x²-6x+17為增函數(shù)的區(qū)間，即（3，+∞）．

點評：本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，復合的兩個函數(shù)同增則增，同減則增，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域，考查學生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．