Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最大值為3，離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）A，B為橢圓上的點(diǎn)，△AOB面積為

3

，求證：|OA|²+|OB|²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意可得

a+c=3 c a = 1 2

，解出a，c，由平方關(guān)系可得b；
（Ⅱ）分情況討論：當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，易求|OA|²+|OB|²=7；當(dāng)直線AB存在斜率時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得，（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由弦長(zhǎng)公式可表示|AB|，由點(diǎn)到直線的距離公式可得O到AB的距離，由面積公式可得k，m的方程，由此可求得|OA|²+|OB|²=7；

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

a+c=3 c a = 1 2

，解得

a=2 c=1

，
∴b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，S_△AOB=

3

=|x₁y₁|⇒x12y12=3⇒

y12

3

=

1

x12

，
代入

x12

4

+

y12

3

=1，得x12=2，則y12=

3

2

，
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12+x22+y22=2（x12+y12）=7；
（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=kx+m，
與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立得，（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，△=48（4k²-m²+3）＞0，
由韋達(dá)定理得，

x1+x2=- 8km 4k2+3 x1x2= 4m2-12 4k2+3

，
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

，
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

(- 8km 4k2+3 )2-4• 4m2-12 4k2+3

=

4 1+k2 • -3m2+12k2+9

4k2+3

，
則S△AOB=

3

=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

，代入整理得

1

4

=

(4k2+3)-m2

(4k2+3)2

•m2，
化簡(jiǎn)得2m²=3+4k²，
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12+x22+y22=x12+（3-

3

4

x12）+x22+(3-

3

4

x22)=

1

4

(x12+x22)+6
=

1

4

[(x1+x2)2-2x1x2]+6=

1

4

[(-

8km

4k2+3

)2-2•

4m2-12

4k2+3

]+6
=2•

4k2m2-3m2+12k2+9

(4k2+3)2

+6
=2•

(4k2-3)m2+12k2+9

(4k2+3)2

+6=2•

(4k2-3)• 4k2+3 2 +12k2+9

(4k2+3)2

+6=7．
綜上，|OA|²+|OB|²=7（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．