已知函數(shù)的圖像過坐標原點，且在點 處的切線斜率為.
（1）求實數(shù)的值；
（2） 求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)的圖像上存在兩點，使得對于任意給定的正實數(shù)都滿足是以為直角頂點的直角三角形，且三角形斜邊中點在軸上，求點的橫坐標的取值范圍.

（1）；（2）；（Ⅲ）點的橫坐標的取值范圍為．

解析試題分析：（1）求實數(shù)的值求導數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點處的切線的斜率是，由導數(shù)的幾何意義，及當時，，對函數(shù)求導數(shù)得，，依題意，可求出，又因為圖象過坐標原點，則，即可求得實數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，當時，，對函數(shù)求導函數(shù)，令，解出的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，計算導數(shù)等零點與端點的函數(shù)值，從而可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（Ⅲ）設，因為中點在軸上，所以，根據(jù)，可得，分類討論，確定函數(shù)的解析式，利用，即可求得結(jié)論．
試題解析：（1）當時，，
依題意，
又   故              3分
（2）當時，
令有，故在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增；
在單調(diào)遞減．又,
所以當時，          6分
（Ⅲ）設，因為中點在軸上，所以
又  ①
（ⅰ）當時，，當時，．故①不成立  7分
（ⅱ）當時，代人①得：
，
無解                                  8分
（ⅲ）當時，代人①得：
   ②
設，則是增函數(shù).
的值域是

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝－aln x＋＋x(a≠0)，
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x－2y＝0垂直，求實數(shù)a的值；
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設直線是曲線的一條切線，.
（1）求切點坐標及的值；
（2）當時，存在，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設，函數(shù)．
（1）當時，求在內(nèi)的極大值；
（2）設函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.（其中是的導函數(shù)．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？

（Ⅲ）現(xiàn)在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)當時，求函數(shù)的最大值和最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，f '（x）為f（x）的導函數(shù)，若f '（x）是偶函數(shù)且f '（1）=0.
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，都有，求實數(shù)的最小值；
⑶若過點，可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．

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