Question

學(xué)校操場(chǎng)邊有一條小溝,溝沿是兩條長(zhǎng)150米的平行線段,溝寬為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？

（Ⅲ）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖(不準(zhǔn)填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問(wèn)改挖后的溝底寬為多少米時(shí)，所挖的土最少？

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）;

解析試題分析：（Ⅰ）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由拋物線過(guò)點(diǎn)，可得，可求出拋物線方程為，當(dāng)時(shí)，，由求出水面寬為（米）；
（Ⅱ）利用定積分求出曲面的面積，再利用柱體的體積公式求出體積；
（Ⅲ）易知為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)是拋物線弧上的一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是，記梯形的面積為，則，利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以改挖后的溝底寬為米時(shí)，所挖的土最少.
試題解析：（Ⅰ）如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線方程為．
則由拋物線過(guò)點(diǎn)，可得．
于是拋物線方程為．
當(dāng)時(shí)，，由此知水面寬為（米）．
（Ⅱ）（立方米）
（Ⅲ）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切．
設(shè)切點(diǎn)是拋物線弧上的一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是．
記梯形的面積為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以改挖后的溝底寬為米時(shí)，所挖的土最少.
考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.定積分的應(yīng)用；3.基本不等式在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用.