Question

已知f（x）=（1+x）lnx，g（x）=a（1-x）
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）是f（x）在x=1處的切線？
（2）若函數(shù)y=f（x）+g（x）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得f（x）在x=1處的切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即有a=-2，檢驗(yàn)即可得到存在；
（2）求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)y=f（x）+g（x）是增函數(shù)，即有l(wèi)nx+

1+x

x

-a≥0在x＞0恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和求出右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=（1+x）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+

1+x

x

，
f（x）在x=1處的切線斜率為k=f′（1）=ln1+2=2，
切點(diǎn)為（1，0），即有a=-2，
即g（x）=-2（1-x）成立，
故存在a為2，使g（x）是f（x）在x=1處的切線；
（2）函數(shù)y=f（x）+g（x）=（1+x）lnx+a（1-x）
的導(dǎo)數(shù)為y′=lnx+

1+x

x

-a，
由函數(shù)y=f（x）+g（x）是增函數(shù)，
即有l(wèi)nx+

1+x

x

-a≥0在x＞0恒成立，
即有a-1≤lnx+

1

x

，
令h（x）=lnx+

1

x

，h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有h（x）在x=1處取得極小值，也為最小值，且為1．
則有a-1≤1，
即有a≤2．
故a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．