Question

4．已知函數(shù)$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$的真數(shù)為正，則（ax-1）（x-1）＞0，分類討論，可得不同情況下函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，只需要$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且大于零恒成立，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若函數(shù)$f（x）=lg\frac{ax-1}{x-1}（{a＞0}）$的真數(shù)為正，
則（ax-1）（x-1）＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?\left\{{x|x＜1或x＞\frac{1}{a}}\right\}$；
當(dāng)a＞1時(shí)$\left\{{x|x＜\frac{1}{a}或x＞1}\right\}$．
（2）$f（x）=lg\frac{{a（{x-1}）+a-1}}{x-1}=lg（{a+\frac{a-1}{x-1}}）$，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，
只需要$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且大于零．
即當(dāng)x₁＞x₂≥10時(shí)，$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{a-1}）}}{{（{{x_1}-1}）（{{x_2}-1}）}}＞0$恒成立．
∵x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴k-1＜0即可．
$g（x）=a+\frac{a-1}{x-1}$在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，
要使g（x）＞0恒成立，
只要$g（{10}）＞0⇒k＞\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{10}＜k＜1$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．