Question

圓x²+y²=1內(nèi)有一定點(diǎn)A（，0），圓上有兩點(diǎn)P、Q，若∠PAQ=90°，求過(guò)點(diǎn)P和Q的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出兩條切線方程，轉(zhuǎn)化為P、Q的方程，求出直線OM與PQ之交點(diǎn)，代入中點(diǎn)E的軌跡方程即可．
解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過(guò)P、Q的切線方程分別是
x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
又M（m，n）在這兩條切線上，有mx₁+ny₁=1，mx₂+ny₂=1，
∵P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=1，又兩點(diǎn)確定唯一一條直線，
∴PQ所在直線的方程是mx+ny=1．
又∵E為直線OM與PQ之交點(diǎn)，解方程組⇒x=，y=．
將（，）代入中點(diǎn)E的軌跡方程得x²+y²+x-=0．
這就是要求的過(guò)P、Q兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)M的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查交軌法求軌跡方程，思路明確，運(yùn)算復(fù)雜，考查運(yùn)算能力，是難題．