Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：(x－4)²＋(y－5)²＝4和

圓C₂：(x＋3)²＋(y－1)²＝4.

(1) 若直線l₁過點A(2,0)，且與圓C₁相切，求直線l₁的方程；

(2) 直線l₂的方程是x＝，證明：直線l₁上存在點P，滿足過P的無窮多對互相垂直的直線l₃和l₄，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等．

Answer 1

解： (1)若直線斜率不存在，x＝2符合題意；

當直線l₁的斜率存在時，設直線l₁的方程為y＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0，

由條件得＝2，解得k＝，

所以直線l₁的方程為x＝2或y＝(x－2)，即x＝2或21x－20y－42＝0.

(2)由題意知，直線l₃，l₄的斜率存在，設直線l₃的斜率為k，則直線l₄的斜率為－，

設點P坐標為(，n)，互相垂直的直線l₃，l₄的方程分別為：y－n＝k(x－)，y－n＝－(x－)，即kx－y＋n－k＝0，－x－y＋n＋＝0，

根據直線l₃被圓C₁截得的弦長與直線l₄被圓C₂截得的弦長相等，兩圓半徑相等．由垂徑定理得：圓心C₁到直線l₃與圓心C₂到直線l₄的距離相等．

有