Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線:，拋物線的準(zhǔn)線與交于點(diǎn)．

（1）過作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為， ，證明：以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線、， 與曲線交于、兩點(diǎn)， 與曲線交于、兩點(diǎn)，線段， 的中點(diǎn)分別為、，試討論直線是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）過定點(diǎn)；坐標(biāo)為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可將切線設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線的方程結(jié)合可得的值，根據(jù)斜率繼而可得， 的傾斜角分別為和，則，從而命題得證；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得， 坐標(biāo)分別為， ，寫出直線的方程即可得到最后結(jié)果.

試題解析：（1）依題意有；由切線斜率必存在且不等于零，設(shè)切線方程為； ；

，所以切線方程為和；

所以直線， 的傾斜角分別為和，則；

所以，點(diǎn)在以為直徑的圓上；

（2）易知直線， 的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為， ， ，

則直線： ， ，

由得，

，

∴， ，∴．

同理得．

當(dāng)或時(shí)，直線的方程為；

當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，

∴直線的方程為，即，

∴直線過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．