Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，點E、F分別在棱BB1、CC1上，且BE= BB1 ， C1F= CC1 ．

（1）求平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值；
（2）若G為BC的中點，A1G與平面AEF交于H，且設(shè) = ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，點E、F分別在棱BB1、CC1上，且BE= BB1，C1F= CC1．

∴建立以A為坐標原點，AB，AC，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：

則A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，2，4），

則 =（2，0，2）， =（0，2，4），

設(shè)平面AEF的法向量為 =（x，y，z）

則

令z=1．則x=﹣1，y=﹣2，

即 =（﹣1，﹣2，1），

平面ABC的法向量為 =（0，0，1），

則cos＜ ， ＞= = =

即平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值是

（2）解：若G為BC的中點，A1G與平面AEF交于H，

則G（1，1，0），

∵ = ，

∴ = =λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），

= + =（λ，λ，6﹣6λ）

∵A，E，F(xiàn)，H四點共面，

∴設(shè) =x +y ，

即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），

則 ，得λ= ，x=y= ，

故λ的值為 ．

【解析】（1）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．（2）利用四點共面， =x +y ，建立方程關(guān)系進行求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解棱柱的結(jié)構(gòu)特征(兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形)．